https://ematmac.pl/ Recent content in Zadania z matematyki - matura on Zadania z matematyki Hugo -- gohugo.io pl https://ematmac.pl/docs/liczby/liczby_rzecz/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://ematmac.pl/docs/liczby/liczby_rzecz/ 1.1 Liczby rzeczywiste # https://ematmac.pl/docs/liczby/zbiory/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://ematmac.pl/docs/liczby/zbiory/ 1.3 Zbiory liczbowe # Zadania # Niech $A = (-1, 2 \rangle $, $B = \langle 0, 3)$. Zaznacz na osi liczbowej $ A \cap B $, $A \cup B$, $ A \setminus B $, $ ({A \cap B})^{'}$. 1.3.2 # Niech P oznacza zbiór liczb pierwszych, zaś R liczb dwucyfrowych mniejszych od 20. Wyznacz $ P \cap D $, $P \cup D$, $ P \setminus D $, $ D \setminus P. https://ematmac.pl/docs/liczby/potegi/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://ematmac.pl/docs/liczby/potegi/ 1.4 Potęgi i pierwiastki # Wzory $ a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ $ ({a^m})^n = a^{m \cdot n} $ $ a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n $ $ \frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n $ $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $ $ a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n} $ Przykłady # 1.4.1 Film 1.4.2 Notatki Korekta do wypowiedzi w filmie Liczba ujemna podniesiona do potęgi o wykładniku parzystym da liczbę parzystą. https://ematmac.pl/docs/liczby/logarytmy/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://ematmac.pl/docs/liczby/logarytmy/ 1.5 Logarytmy # Wzory $ log_{a}xy = log_{a}x + log_{a}y $ $ log_{a}\frac{x}{y} = log_{a}x - log_{a}y $ $ log_{a}x = \frac{log_{b}x}{log_{b}a} $ $ log_{a}x^b = b\cdot log_{a}x $ $ log_{a}a = 1 $ $ log_{a}a^x = x\cdot log_{a}a = x $ $ log_{a}1 = 0 $ $ a^{log_{a}x} = log_{a}a^x = x $ Zadania # 1.5.2 Oblicz logarytmy # a) $ log_{3}27 = $ https://ematmac.pl/docs/liczby/wyrazenia/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://ematmac.pl/docs/liczby/wyrazenia/ 1.6 Wyrażenia algebraiczne # https://ematmac.pl/docs/funkcje/wlasnosci_funkcji/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://ematmac.pl/docs/funkcje/wlasnosci_funkcji/ 2.1 Własności funkcji # Przykłady # Przesunięcia równoległe wykresów funkcji Przekształcenia wykresów funkcji https://ematmac.pl/docs/funkcje/funkcja_lin/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://ematmac.pl/docs/funkcje/funkcja_lin/ 2.2 Funkcja liniowa # Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem $f(x) = ax + b$, gdzie $a$ jest współczynnikiem kierunkowym prostej, natomiast $b$ to wyraz wolny. Zadania # 2.2.1 # Prosta k przechodzi przez punkty A(-2, 1) oraz B(0, 2). Wyznacz równanie tej prostej. Współrzędne punktów przecięcia prostęj k z osiami OX oraz OY. Rozwiązanie 2.2.2 # Prosta l przechodzi przez punkty M( $ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} $) oraz N($2, -4\frac{1}{2}$). https://ematmac.pl/docs/funkcje/funkcja_kwadratowa/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://ematmac.pl/docs/funkcje/funkcja_kwadratowa/ 2.3 Funkcja kwadratowa # https://ematmac.pl/docs/funkcje/wielomiany/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://ematmac.pl/docs/funkcje/wielomiany/ 2.4 Wielomiany # https://ematmac.pl/docs/funkcje/ciag_arytmetyczny/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://ematmac.pl/docs/funkcje/ciag_arytmetyczny/ 2.5 Ciąg arytmetyczny # Zadania # 2.5.2 # Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę ciągu arytmetycznego, jeśli $ a_{9} - a_{6} = 21 $, $ a_{9} \cdot a_{6} = 2146 $. 2.5.3 # Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Suma tych liczb równa się 18, a suma kwadratów licz skrajnych wynosi 104. Co to za liczby? 2.5.4 # Oblicz długości boków trójkąta prostokątnego, wiedząc, że tworzą one ciąg arytmetyczny o różnicy 2. https://ematmac.pl/docs/funkcje/ciag_geometryczny/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://ematmac.pl/docs/funkcje/ciag_geometryczny/ 2.5 Ciąg geometryczny # Zadania # 2.6.20 # Sprężysta kulka odbija się od podłogi i osiąga za każdym razem $\frac{1}{2}$ poprzedniej wysokości. Jaka była wysokość pierwszego odbicia jeśli za piątym razem kulka odbiła się na wysokość 12 cm. 2.6.21 # Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Suma tych liczb jest równa 57, a iloczyn 5832. Wyznacz te liczby. Rozwiązania https://ematmac.pl/docs/rownania/rown_nie_lin/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://ematmac.pl/docs/rownania/rown_nie_lin/ 3.1 Równania i nierówności liniowe # Przykłady # https://ematmac.pl/docs/rownania/rown_nie_kwa/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://ematmac.pl/docs/rownania/rown_nie_kwa/ 3.2 Równania i nierówności kwadratowe # Przykłady # https://ematmac.pl/docs/rownania/wart_bez/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://ematmac.pl/docs/rownania/wart_bez/ 3.3 Równania i nierówności z wartością bezwzględną # Definicja, własności i wzory # Definicja wartości bezwzględnej $ x = \begin{cases} x \ dla \ x \ge 0 \\ -x \ dla \ x \lt 0 \end{cases} $ Opuszczanie wartości bezwzględnej Jeśli liczba pod wartością bezwzględną jest nieujemna, to opuszczając wartość bezwzględną nie zmieniamy znaku, w przeciwnym wypadku, zmieniamy znak na przeciwny. Na przykład: $| \pi - 3| = \pi - 3$, bo $\pi - 3 \ge 0$, $| \pi - 4| = -\pi + 4$, bo $\pi - 4 \lt 0$ https://ematmac.pl/docs/rownania/rown_wielom/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://ematmac.pl/docs/rownania/rown_wielom/ 3.4 Równania i nierówności wielomianowe # Twierdzenia o wielomianach Twierdzenie Bézouta Wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x−a) wtedy i tylko wtedy, gdy liczba a jest pierwiastkiem tego wielomianu. Wymierne pierwiastki wielomianu o współczynnikach całkowitych Niech $ a_{n}, \ a_{n-1}, \ a_{n-2}, \ …, \ a_{1}, \ a_{0}$ będą liczbamy całkowitymi oraz $ a_{n} \ne 0$. 1. Jeśli równanie $ a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + … + a_{1}x + a_{0} = 0$ ma pierwiastek całkowity $p$, to wówczas $p$ jest dzielnikiem wyrazu wolnego $a_{0}$. https://ematmac.pl/docs/rownania/rown_nie_par/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://ematmac.pl/docs/rownania/rown_nie_par/ 3.5 Równania i nierówności z parametrem # Przykłady # 3.5.10 # Wyznacz wartość parametru $p$, $p \in \mathbb{R} $, dla którego równanie $x^3 + 2px^2 + 4px + 8 = 0$ ma dwa rozwiązania. Rozwiązanie $x^3 + 2px^2 + 4px + 8 = 0$ $x^3 + 8 + 2px^2 + 4px = 0$ $(x + 2)(x^2 -2x + 4) + 2px(x+2) = 0$ $(x+2)(x^2 -2x + 4 + 2px) = 0$ https://ematmac.pl/docs/geometria/geometria_analityczna/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://ematmac.pl/docs/geometria/geometria_analityczna/ 5.1 Geometria analityczna # Zadania # 5.5.10 # Obliczmy pole trójkąta z zadania 2.2.3 wykorzystając długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie. 5.5.11 # Znajdź równanie okręgu opisanego na trójkącie z zadania 2.2.3. https://ematmac.pl/docs/matura/lata_pop/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://ematmac.pl/docs/matura/lata_pop/ 7.1 Arkusze maturalne CKE # Linki do arkuszy maturalnych Zamieszczone linki pocodzą ze strony https://arkusze.pl/. Są tam prezentowane arkusze maturalne Centralnej Komisji Egzaminacyjnej. Poziom podstawowy # 2023 przykladowy arkusz CKE pytania, odpowiedzi 2022 pytania, odpowiedzi 2021 pytania, odpowiedzi 2020 pytania, odpowiedzi 2019 pytania, odpowiedzi 2018 pytania, odpowiedzi 2017 pytania, odpowiedzi Poziom rozszerzony # 2023 przykladowy arkusz CKE pytania, odpowiedzi https://ematmac.pl/docs/matura/rozwiazywanie/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://ematmac.pl/docs/matura/rozwiazywanie/ 7.2 Rozwiązania # Poziom podstawowy 2022 # Zadania zamknięte 1-14 Zadania zamknięte 15-28 PDF z. 1-20 Poziom podstawowy 2021 # Zadania zamknięte 1-14 Zadania zamknięte 15-28 PDF z. 1-28 Poziom podstawowy 2020 # Zadania zamknięte 1-14 Notatki Poziom rozszerzony 2022 # Zadania 1-7 https://ematmac.pl/docs/rzeczy-inne/linki/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://ematmac.pl/docs/rzeczy-inne/linki/ 8.1 Strony, książki, czasopisma # Linki Linki do wybranych stron poświęconych zadaniom z matematyki. Portale poświęcone matematyce # Delta Matematyka dla nuczycieli Strony wspomagające nauczanie szkolne # https://zadania.info/ https://www.matemaks.pl/ https://zdajmyrazem.pl/ https://www.youtube.com/c/pistacjamatematyka https://szaloneliczby.pl/ https://www.medianauka.pl/matematyka-portal Książki # Matura rozszerzona 2023 Matematyka. Nowa matura 2023 i 2024 https://ematmac.pl/docs/liczby/logika/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://ematmac.pl/docs/liczby/logika/ https://ematmac.pl/odp/odp143/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://ematmac.pl/odp/odp143/ Odpowiedzi # 1.4.3 Zapisz w postaci jednej potęgi # a) $ \frac{64 \cdot 4^2}{\sqrt{256}} = \frac{2^6 \cdot 16 }{16}= 2^6$ b) $ (\frac{1}{2})^{-2} \cdot \sqrt[3]{64} = \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} \cdot 4 = \frac{1}{\frac{1}{2^2}} \cdot 4 = \frac{1}{\frac{1}{4}} \cdot 4 = 4 \cdot 4 = 16 = 2^{4}$ c) $ \sqrt{\sqrt{\sqrt{256}}} = \sqrt{\sqrt{16}} = \sqrt{4} = 2 = 2^1$ d) $ 15 \cdot 3^{17} - 6 \cdot 3^{17} = 9 \cdot 3^{17} = 3^2 \cdot 3^{17} = 3^{2+17} = 3^{19}$ https://ematmac.pl/odp/odp144/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://ematmac.pl/odp/odp144/ Odpowiedzi # 1.4.4 # a) $ (\sqrt{3} + \sqrt{6})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 3 + 2\sqrt{18} + 6 = 9 + 2\sqrt{9\cdot2} = $ $ = 9 + 2\sqrt{9}\sqrt{2} = 9 + 2\cdot{3}\cdot\sqrt{2} = 9 + 6\sqrt{2}$ b) $(7 - 13^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}} \cdot (7 - 13^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}} = [(7 - 13^{\frac{1}{2}})(7 - 13^{\frac{1}{2}})]^{\frac{1}{2}} = [7^2 - (13^{\frac{1}{2}})^2]^{\frac{1}{2}} = (49-13)^{\frac{1}{2}}= $ $ =\sqrt{36} = 6$ https://ematmac.pl/odp/odp152/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://ematmac.pl/odp/odp152/ 1.5.2 Oblicz logarytmy # a) $ log_{3}27 = 3 $, bo $3^3 = 27 $ b) $ log_{2}32 = 5 $, bo $2^5 = 32 $ c) $ log_{4}2 = \frac{1}{2} $, bo $4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2 $ d) $ log1000 = 3 $, bo $10^3 = 1000$ e) $ log_{2}1 = 0$, bo $ 2^0 = 1$ f) $ log_{2}{\frac{1}{8}} = -3$, bo $ 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$ https://ematmac.pl/odp/odp153/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://ematmac.pl/odp/odp153/ 1.5.3 Oblicz logarytmy # a) $ log_{2}\frac{1}{1024} = log_{2}1024^{-1} = -log_{2}2^{10} = -10log_{2}2 = -10 $ b) $ log_{\frac{2}{3}}{\frac{81}{16}} = log_{\frac{2}{3}}{(\frac{16}{81}})^{-1} = -log_{\frac{2}{3}}{(\frac{2}{3}})^{4} = -4log_{\frac{2}{3}}{(\frac{2}{3}}) = -4 $ c) $log_{0.16}0.064 = log_{0.16}{(0.4)}^3 = 3log_{0.16}\sqrt{0.16}= 3log_{0.16}{(0.16)}^{\frac{1}{2}} = $ $ = \frac{3}{2}log_{0.16}0.16 = \frac{3}{2} $ d) $ log_{0.125}0.5 = log_{0.125}(0.125)^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}log_{0.125}0.125 = \frac{1}{3}$ e) $ log_{3}25 \cdot log_{5}27 = \frac{log_{5}25}{log_{5}3} \cdot log_{5}27 = \frac{2}{log_{5}3} \cdot log_{5}3^3 = \frac{2}{log_{5}3} \cdot 3\cdot log_{5}3 = 6$ https://ematmac.pl/odp/odp221/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://ematmac.pl/odp/odp221/ Odpowiedzi # Zadanie 2.2.1 # $ \begin{cases} 1 = -2a + b \\ 2 = b \end{cases} $ Rozwiążmy go. $ \begin{cases} b = 2 \\ 1 = -2a + 2 \end{cases} $ $ \begin{cases} 2a = 1 \\ b = 2 \end{cases} $ $ \begin{cases} a = \frac{1}{2} \\ b = 2 \end{cases} $ Czyli równanie prostej ma postać: $ y = \frac{1}{2}x + 2$. Przejście przez oś OX bedzie leżało w miejscu zerowym funkcji $ y = \frac{1}{2}x + 2$. https://ematmac.pl/odp/odp224/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://ematmac.pl/odp/odp224/ Odpowiedzi # Zadanie 2.2.4 # Z wykresu można odczytać, że prosta f przechodzi przez punkty $ (0, 1)$ oraz $(3, 0)$. Wyznaczymy równanie prostej f podstawiając za $x$ i $y$ współrzędne tych punktów to równaia kierunkowego prostej $y = ax + b$. Otrzymamy układ równań: $ \begin{cases} 1 = a \cdot 0 + b \\ 0 = a \cdot 3 + b \end{cases} $ $ \begin{cases} 1 = b \\ -3a = 1 /: (-3) \end{cases} $ https://ematmac.pl/odp/odp252/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://ematmac.pl/odp/odp252/ ciąg arytmetyczny - rozwiązania # 2.5.2 # $ \begin{cases} a_{9} - a_{6} = 21 \\ a_{9} \cdot a_{6} = 2146 \end{cases} $ Zastosujemy wzór na n-ty wyraz ciągu aytmetycznego: $ a_{n} = a_{1} + (n-1)\cdot r $ $ a_{9} = a_{1} + 8\cdot r$, $ a_{6} = a_{1} + 5\cdot r $ Podstawmy tak wyliczone $a_{9}$ i $a_{6}$ do pierwszego równania: $a_{1} + 8r - (a_{1} + 5r) = 21 $