3.5 Równania i nierówności z parametrem #

$x^3 + 2px^2 + 4px + 8 = 0$

$x^3 + 8 + 2px^2 + 4px = 0$

$(x + 2)(x^2 -2x + 4) + 2px(x+2) = 0$

$(x+2)(x^2 -2x + 4 + 2px) = 0$

Widzimy, że $x = -2$ jest pierwiastkiem równania. Drugi pierwiastek musi być pierwiastkiem równania $ x^2 -2x + 4 + 2px = 0$

$ x^2 + 2px - 2x + 4 = 0$

$ x^2 + 2(p - 1)x + 4 = 0$ To równanie musi mieć tylko jedno rozwiązanie.

$ \Delta = [2(p-1)]^2 - 16 = 4(p-1)^2-16 $

$\Delta = 0 $, gdy $4(p-1)^2-16 = 0$

Mamay wieć:

$(p-1)^2 -4 =0$

$(p-1-2)(p-1+2)= 0$

$(p-3)(p+1)= 0$

Czyli $p = 3$ lub $p=-1 $

Jeśli do równania $ x^2 + 2(p - 1)x + 4 = 0$ za $p$ podstawimy 3, to otrzymamy:

$x^2 + 4x + 4 = 0$

$(x+2)^2 = 0$

$ x= -2$. Ale ten pierwiastej już mamy. Czyli $p=3$ odrzucamy.

Jeśli podstawimy $p=-1 $, to otrzymamy:

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x-2)^2 = 0$

Czyli $x = 2$

Równanie $x^3 + 2px^2 + 4px + 8 = 0$ ma dwa pierwiastki gdy $p=-1 $.

Parametr $k$ musi spełniać nierówność $k \ge 0$. (1)

Gdy $k=0$, to mamy:

$|x^2 - 4|x|| = 0$

$x^2 - 4|x| = 0$

Jeśli $ k \ge 0$, to

$x^2 - 4x = 0$

$x(x-4) = 0$, czyli $x = 0$ lub $x = 4 $.

Jeśli $ k \lt 0$, to

$x^2 + 4x = 0$

$x(x+4) = 0$, czyli $x = - 4 $.

Tak wiec dla $k=0$, równanie $|x^2 - 4|x|| = 0$ ma trzy rozwiązania.

Rozpatrzmy teraz $k \gt 0$. Mamy wtedy:

$x^2 - 4|x| = k$ lub $x^2 - 4|x| = -k$

W pierwszym przypadku,

dla $x \ge 0$ opuszczając wartość bezwzględną dostajemy:

$x^2 - 4x = k$

$x^2 - 4x - k = 0$

Gdy $\Delta > 0$, to $x^2 - 4x - k = 0$ będzie miało dwa rozwiązania.

$\Delta = 16 + 4k \gt 0$ dla $k \gt -4$.

dla $x \lt 0$ opuszczając wartość bezwzględną dostajemy:

$x^2 + 4x - k = 0$

$\Delta = 16 + 4k \gt 0$ dla $k \gt -4$.

Czyli dla $k \gt -4$ mamy 2 rozwiązania.

W drugim przypadku,

$x^2 - 4|x| = -k$

Gdy $x \ge 0$, to:

$x^2 - 4x = -k$

$x^2 - 4x + k = 0 $

$\Delta = 16 - 4k \gt 0$ dla $k \lt 4$.

Gdy $x \lt 0$, to:

$x^2 + 4x = -k$

$x^2 + 4x + k = 0 $

$\Delta = 16 - 4k \gt 0$ dla $k \lt 4$.

Czyli dla $k \lt 4$ mamy 2 rozwiązania.

Gdy $k=4$, mamy:

$|x^2 - 4|x|| = 4$

$x^2 - 4|x| = 4$ lub $ x^2 - 4|x| = -4$

Opuszczając wartości bezwzględne mamy:

$x^2 - 4x = 4$, $x^2 - 4x - 4 = 0, \Delta = 32 \gt 0 $

lub $x^2 + 4x = 4$, $x^2 + 4x - 4 = 0, \Delta = 32 \gt 0 $ (dwa rozwiązania)

lub $x^2 - 4x = -4$, $x^2 - 4x + 4 = 0, $(x-2)^2 = 0$, $x = 2$

lub $x^2 + 4x = -4$, $x^2 + 4x + 4 = 0, $(x+2)^2 = 0$, $x = -2$ (dwa rozwiązania)

Gdy $k = 4$, mamy 4 rozwiązania.

Biorąc pod uwagę wszystkie warunki, równanie ma co najmniej trzy rozwiązania gdy:

($k \gt -4$ i $k \lt 4$) lub $k = 0$ lub $k =4 0$, czyli $ x \in \langle 0, 4 \rangle$.