3.3 Równania i nierówności z wartością bezwzględną #
Definicja, własności i wzory #
Definicja wartości bezwzględnej
$ x = \begin{cases} x \ dla \ x \ge 0 \\ -x \ dla \ x \lt 0 \end{cases} $
Opuszczanie wartości bezwzględnej
Jeśli liczba pod wartością bezwzględną jest nieujemna, to opuszczając wartość bezwzględną nie zmieniamy znaku, w przeciwnym wypadku, zmieniamy znak na przeciwny.
Na przykład:
$| \pi - 3| = \pi - 3$, bo $\pi - 3 \ge 0$, $| \pi - 4| = -\pi + 4$, bo $\pi - 4 \lt 0$
Własności i wzory
$ |x| \ge 0 $
$ |x| = 0 \Longleftrightarrow x = 0$
$|x| \cdot |y| = |x \cdot y|$
$ |x| \le a \Longleftrightarrow -a \le x \le a $
$ |-x| = |x|$
$ \sqrt{x^2} = |x|$
$ |\frac{x}{y}| = \frac{|x|}{|y|}$, $y \ne 0$
$ |x| \ge a \Longleftrightarrow x \le -a $ lub $ x \ge a $
Przykłady #
3.3.1 Proste nieróności - film 3.3.2 Nieróności - sliderZadania #
3.3.4 Rozwiąż nierówności: #
a) $ 3 \gt 4 - |2-x|$
b) $ |4x - \frac{1}{2}| - 8 > 0 $
c) $ 2|x+1| + \frac{|-x-1|}{2} \le 10 $
d) $|x-3| - \frac{|3-x|}{2} - 1 > -1/2 $
e) $|x| > x $
f) $\frac{1}{2}|x+2|-|-x-2|-\frac{1}{4}|2+x|> -2$
Interpretacja geometryczna nierówności z wartością bezwzględną #
