ciąg arytmetyczny - rozwiązania #
2.5.2 #
$ \begin{cases} a_{9} - a_{6} = 21 \\ a_{9} \cdot a_{6} = 2146 \end{cases} $
Zastosujemy wzór na n-ty wyraz ciągu aytmetycznego: $ a_{n} = a_{1} + (n-1)\cdot r $
$ a_{9} = a_{1} + 8\cdot r$, $ a_{6} = a_{1} + 5\cdot r $
Podstawmy tak wyliczone $a_{9}$ i $a_{6}$ do pierwszego równania:
$a_{1} + 8r - (a_{1} + 5r) = 21 $
$a_{1} + 8r - a_{1} - 5r = 21 $
$3r=21$, stąd $r=7$.
W dryugim równaiu mamy:
$(a_{1} + 8r)(a_{1} + 5r) = 2146 $
Za r podstawiamy 7.
$(a_{1} + 8\cdot 7)(a_{1} + 5\cdot 7 ) = 2146 $
$(a_{1} + 56)(a_{1} + 35 ) = 2146 $
$a_{1}^2 + 56a_{1} + 35a_{1} + 1960 = 2146$
$a_{1}^2 + 91a_{1} + 1960 - 2146 = 0$
$a_{1}^2 + 91a_{1} - 186 = 0$
Rozwiążmy powyższe równanie kwadratowe:
$\Delta = 91^2 - 4\cdot 1 \cdot (-196) = 8281 + 744 = 9025$
$ \sqrt{9025} = 95 $
$ a_{1} = \frac{-91-95}{2} = \frac{-186}{2} = -93$ lub $ a_{1} = \frac{-91+95}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Odpowiedź:
$ \begin{cases} a_{1} = -93 \\ r = 7 \end{cases} $ lub $ \begin{cases} a_{1} = 2 \\ r = 7 \end{cases} $
Powrót do zadania Strona główna
2.5.3 #
Niech liczby a, b, c tworzą ciąg arytmetyczny i a + b + c = 18. Można je przedstawić następująco: $a, a+r, a + 2r$, gdzie r jest różnicą ciągu gemetrycznego. Mamy wiec:
$a + a +r + a+2r=18$
$3a + 3r = 18$
$a +r = 6$, stad $r=6-a$.
Liczby skrajne to $a$ i $c$. Suma ich kwadratów wynosi 104, czyli $ a^2 + c^2 = 104$.
$c = a + 2r = a + 2(6-a)= a + 12 -2a = 12 - a$.
Dalej, $a^2 + (12-a)^2 = 104$
$a^2 + 144 - 24a + a^2 = 104$
$2a^2 - 24a + 40= 0$
$a^2 - 12a + 20= 0$
$ \Delta = 12^2 - 4\cdot 20 = 144- 80 = 64 $
$ a = \frac{12-8}{2} = \frac{4}{2} = 2$ lub $ a = \frac{12+8}{2} = \frac{20}{2} = 10$
Jeśli $a = 2$, to $r = 4$. Wtedy szukane liczby to 2, 6, 10.
$2+6+10=18$ oraz $10^2+2^2 = 100+4=104$
Jeśli $a = 10$, to $r = -4$. Wtedy szukane liczby to 10, 6, 2, czyli te same liczby tylko w porządku malejącym.
Odpowiedź:
Szukane liczby to 2, 6, 10.
Powrót do zadania Strona główna
2.5.4 #
Długości boków tego trójkąta to a, a+2, a+4 (długość pzreciwprostokątnej). Z tw. Pitagorasa mamy:
$a^2 + (a+2)^2 = (a+4)^2 $
$a^2 + a^2 + 4a + 4 = a^2 + 8a + 16$
$a^2 -4a -12 = 0$
$\Delta = (-4)^2 - 4\cdot 1* \cdot (-12) = 16+48=64$
$a = \frac{4 - 8}{2} = -2 <0 $ - odrzucamy ten wynik (dł. boku musi być dodatnia)
lub
lub $a_{1} = \frac{4 + 8}{2} = 6 $
Zatem długości boków tego trójkąta wynoszą: 6, 8, 10.
Powrót do zadania Strona główna
2.5.5 #
$a_{7} = 9 \cdot a_{1}$ oraz $a_{7} = a_{1} + 6r $
$ 9a_{1} = a_{1} + 6r $
$ 8a_{1} = 6a_{1}$
$a_{1} = \frac{3}{4}r $
Wiemy też, że $a_{6} - a_{4} = 4 $
$a_{1} + 5r - a_{1} - 3r = 4$
$2r = 4$
$r=2$, zatem $a_{1} = \frac{3}{4} \cdot 2 = \frac{3}{2}$
$ a_{7} = \frac{3}{2} + 6\cdot 2 = 13\frac{1}{2} = \frac{27}{2}$
$ S_{7} = \frac{a_{1} + a_{7} }{2} \cdot 7 = \frac{\frac{3}{2} + \frac{27}{2}}{2} \cdot 7 = \frac{15}{2} \cdot 7 = \frac{105}{2}$
$a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} = S_{7} - a_{1} - a_{7} = \frac{105}{2} - \frac{3}{2}-\frac{27}{2} = \frac{105}{2} - \frac{30}{2} = \frac{75}{2}$
Odpowiedź:
$a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} = \frac{75}{2}$
Powrót do zadania Strona główna
ciąg geometryczny - rozwiązania #
2.5.20 #
$a_{5} = 12, q=\frac{1}{2}$
$12 = a_{1}\cdot(\frac{1}{2})^4$
$12 = a_{1}\cdot \frac{1}{16}$
$a_{1} = 12 \cdot 16 = 192 $
Pierwsze odbicie będzie na wysokość 192cm.
Powrót do zadania Strona główna
2.5.21 #
Liczby $a_{1}, a_{2}, a_{3} $ tworzą ciąg geometryczny. Ich suma wynosi 57, a iloczyn 5832,czyli:
$ \begin{cases} a_{1} + a_{1}q + a_{1}q^2 = 57 \\ a_{1} \cdot a_{1}q \cdot a_{1}q^2 = 5832 \end{cases} $
$
\begin{cases}
a_{1}(1+ q+ q^2) = 57 \\
a_{1}^3 \cdot q^3 = 5832
\end{cases}
$
Z drugiego równania mamy:
$(a_{1} \cdot q)^3 = 5832$
$a_{1} \cdot q = \sqrt[3]{5832} = 18$
Czyli, $ a_{1} = \frac{18}{q} $
Podstawiając za $a_{1}$ dostaniemy:
$ \frac{18}{q} \cdot (1+ q+ q^2) = 57 $
$ 18 + 18q + 18q^2 = 57q $
$ 18q^2 -39q + 18 = 0 / :3$
$ 6q^2 -13q + 6 = 0$
$\Delta = 13^2 - 4\cdot6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25$
$\sqrt{\Delta} = 5$
$q_{1} = \frac{13 - 5}{2\cdot 6} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $
$q_{2} = \frac{13 + 5}{2\cdot 6} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} $
Dla $q = \frac{2}{3}$, ortzymujemy $ a_{1} = \frac{18}{\frac{2}{3}} = 18 \cdot \frac{3}{2} = 27, a_{2}= 27\cdot\frac{2}{3} = 18, a_{2}= 18\cdot\frac{2}{3} = 12$
Dla $q = \frac{3}{2}$, ortzymujemy $ a_{1} = \frac{18}{\frac{3}{2}} = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12, a_{2}= 12\cdot\frac{3}{2} = 18, a_{2}= 18\cdot\frac{3}{2} = 27$
Szukane liczbt to 12, 18, 27. Ich suma wynosi 57, a suma 5832. Można z nich zbudować ciąg geometryczny rosnący, jak i malejący.